不用數學也能講清貝葉斯理論的馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法？這篇文章做到了

大多數時候，貝葉斯統計在結果在最好的情況下是魔法，在最糟糕時是一種完全主觀的廢話。在用到貝葉斯方法的理論體系中，馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法尤其神秘。

這篇文章將介紹馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法，極其背后的基本數學推理。

首先，什么是馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法呢？

最簡短的回答就是：

“MCMC就是一種通過在概率空間中隨機采樣來近似感興趣參數的后驗分布的方法”

在這篇文章中，我不用任何數學知識就可以解釋上面這個簡短的答案。

貝葉斯理論體系基本術語

首先是一些術語。

感興趣的參數只是用來抽象我們感興趣的現象的一些數字。通常我們會使用統計的方法來估計這些參數。例如，如果我們想了解成年人的身高，那么我們需要的參數可能就是以英寸為單位的平均身高。

分布就是參數的各個可能值和我們能觀察到每個參數的可能性的數學表示。

最好的例子就是鐘形曲線：



在貝葉斯統計方式中，分布還有另一個解釋。貝葉斯不僅僅代表參數的值和每個參數的真實值有多大，而是認為分布描述了我們對參數的確信度。因此，上面的鐘形曲線可以表明我們非常確定參數的值接近于零，同時我們認為真實值高于或低于該值的可能性是相等的。

事實上，人的身高是遵循一個正態分布的，所以我們假設平均人體高度的真實值遵循如下的鐘形曲線：



顯然，這個圖表顯示這個人群以巨人的身高生活了很多年，因為據調查所知，最有可能的平均成年身高是6'2''英寸。

讓我們想象某人去收集了一些數據，然后他們觀察到了一批5英寸和6英寸之間的人。 我們可以用另一個正態分布曲線來表示這些數據，這個曲線顯示了哪個人體平均身高值最能解釋數據：



在貝葉斯統計中，表示我們對參數確信度的分布被稱為先驗分布，因為它在看到任何數據之前捕捉到了我們的知識。

似然分布以參數值范圍的形式總結了數據可以告訴我們什么，而參數值中的每個參數解釋了我們正在觀察的數據的可能性。估計最大似然分布的參數值就是回答了這個問題：什么樣的參數值能使分布最有可能觀察到我們觀察到的數據？在沒有先驗信息的情況下，我們可能會就此打住了。

然而，貝葉斯分析的關鍵是將先驗信息和似然分布結合起來去確定后驗分布。這告訴我們，在有先驗數據的情況下，哪些參數值能夠最大化觀察到我們指定數據的概率。在上面的例子中，后驗分布應該是這樣的：



在上面的圖中，紅線表示后驗分布。你可以把它看作一種先驗和可能性分布的平均值。由于先驗分布較短且較為分散，所以它代表了一組關于平均人體身高真實值“不太確定”的概率。 同時，可能性分布在相對較窄的范圍內就可以總結數據，因此它代表了對真實參數值“更確定”的概率。

當先驗和可能性結合在一起時，數據（可能性分布表示）弱化了個體在巨人中長大的可能性。 盡管那個人仍然認為人的平均身高比數據告訴他的稍高一些，但是他最相信的還是數據。

在兩條鐘形曲線的情況下，求解后驗分布是非常容易的。 有一個簡單的方程來結合這兩者。 但是如果我們的先驗分布和可能性分布不那么好呢？

有時，使用不是常規形狀的分布來模型化我們的數據或我們先驗信息是最準確的。如果我們的可能性分布用兩個峰值來表示更好，而且由于某種原因，我們想要解釋一些非常古怪的先驗分布時該怎么辦呢？我已經通過手工繪制了一個丑陋的先驗分布：



在Matplotlib中呈現的可視化，使用MS Paint進行了增強

如之前所講，有一些后驗分布可以給出每個參數值的可能性。但是很難確定分布曲線的具體樣子，而且通過分析也無法解決。

因此進入MCMC方法。

MCMC方法

MCMC方法允許我們估計后驗分布的形狀，以防我們無法直接計算。事實上，MCMC就是馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法。為了理解它們是如何工作的，我將首先介紹蒙特卡洛估計，然后是討論馬爾可夫鏈。

蒙特卡洛估計

蒙特卡洛估計是一種通過重復生成隨機數來估計固定參數的方法。在通過生成隨機數并對其進行一些計算時，有時直接計算這個參數不現實時，蒙特卡洛估計可以提供一個參數的近似值。

假設我們想估計下面圓圈的面積：



由于圓是在邊長為10英寸的正方形內，因此可以容易地計算出它的面積為78.5平方英寸。 另一種方式，我們可以在正方形內隨機抽取20個點。然后，我們計算在圓內的點的比例，并乘以正方形的面積。而這個數字是一個非常好的圓圈面積的近似值。



由于20個點中有15個都位于圓內，所以看起來圓的面積大約是75平方英寸。這個結果對于只有20個隨機點的蒙特卡羅模擬方法來說也不算太壞。

現在，想象一下我們想要計算蝙蝠俠曲線方程(Batman Equation)繪制的形狀的面積：



這是一個我們從來沒有學過的方程的形狀！因此，找到蝙蝠信號的區域非常困難。不過，通過在包含蝙蝠形狀的矩形內隨機地打點，蒙特卡羅模擬方法就可以非常容易地找到該形狀面積的近似值！

蒙特卡羅模擬不僅僅是用于估計復雜形狀的面積。通過生成大量的隨機數，它們可以用來模擬非常復雜的過程。在實踐中，習慣用該方法來預測天氣，或者估計贏得選舉的可能性。

馬爾可夫鏈

理解MCMC方法的第二個要素就是馬爾可夫鏈。 這個就是事件相互關聯概率的序列。每個事件來自一組結果，而其中的每個事件的結果根據一組固定的概率來確定下一個事件的結果。

馬爾可夫鏈的一個重要性質就是它們是無記憶的：在當前狀態下，你可能需要一切可用的事件來預測下一個事件，并且不能有從舊事件來的新信息。像Chutes和Ladders這樣的游戲展現了這種無記憶性或者叫馬爾科夫屬性。

但是在現實世界中，實際上很少有事件以這種方式工作。不過，馬爾可夫鏈是一種理解世界的有力方式。

在十九世紀，鐘形曲線被看作是自然界中一種常見的模式。（例如，我們已經注意到，人的身高分布是一個鐘形曲線）。Galton Boards通過在裝有釘子的木板上放置大理石來模擬重復隨機事件的平均值，重現了大理石分布的正態曲線：



俄羅斯數學家和神學家帕維爾·涅克拉索夫（Peter Pavel Nekrasov）認為，鐘形曲線以及更一般的大數定律只不過是兒童游戲和瑣碎謎題的產物，因為它的假設是每個事件都是完全獨立的。而涅克拉索夫認為現實世界中的事物是相互依存的，比如人的行為，所以現實中的事物并不符合好的數學模式或分布。

安德烈·馬爾可夫試圖證明非獨立事件也有可能符合這種模式。他最著名的實驗例子之一就是要從俄羅斯詩歌作品中計算數以千計的兩個字符對。使用這些字符對，他計算出了每個角色的條件概率。也就是說，給定某個前面的字母或空格，下一個字母就有可能是一個A，一個T或一個空格。

使用這些概率，馬爾可夫能夠模擬任意長的字符序列。這就是一個馬爾可夫鏈。

盡管前幾個字母很大程度上取決于起始字符的選擇，但是馬爾可夫表明，從長遠來看，字符的分布是一種模式。因此，即使是相互依賴的事件，如果它們受到固定概率的影響，也是一致的。

舉一個更有說服力的例子，假設你住在一個有五個房間的房子里，其中有一間臥室，衛生間，客廳，飯廳和廚房。

讓我們收集一些數據，假設你在任何時間點所在的房間都是我們認為的下一個可能進入的房間。例如，如果你在廚房，你有30％的機會留在廚房，30％的機會進入餐廳，20％的機會進入客廳，10％的機會去浴室，有10％的機會進入臥室。利用每個房間的進入的概率，我們可以構建一個預測你下一個可能去的房間的馬爾可夫鏈。

如果我們想要預測房子里某個人在廚房里待一小會兒后會去哪里，那么馬爾可夫鏈可以用于這一類預測。但是由于我們的預測只是基于一個人在家里的一個觀察，所以這類預測結果并不可靠。

例如，如果有人從臥室走到浴室，那么他們更有可能直接回到臥室，而不是從廚房里出來。所以馬爾可夫屬性通常不適用于現實世界。

然而，將馬爾可夫鏈進行數千次迭代，確實能夠長期的預測你接下來可能會進入哪個房間。更重要的是，這個預測并沒有受到人們從哪個房間開始的影響！直觀地說，這是有道理的：為了模擬和描述他們可能長期或通常所在地在哪里，某個時間點某人在家里的位置并不重要。

因此，在一段時期內對隨機變量建模并不合理的馬爾可夫鏈方法，卻可以用來計算該變量的長期趨勢。

MCMC方法

有了蒙特卡洛模擬和馬爾可夫鏈的一些知識，我希望MCMC方法的零數學解釋是非常直觀的。

回想一下，我們試圖估計我們感興趣參數的后驗分布，即人均身高：



我不是一個可視化的專家，我也沒有把我的例子放在常識的范圍之內：我這個后驗分布的例子嚴重地高估了人的平均身高。

我們知道后驗分布在先驗分布和似然分布范圍內，但是，我們很難直接計算它。 使用MCMC方法，我們就可以有效地從后驗分布中抽取樣本，然后計算比如抽樣樣本的平均值。

首先，MCMC方法考慮選擇一個隨機參數值。然后模擬會繼續生成隨機值（這是蒙特卡羅的一部分），但要根據一些規則來確定什么是一個好的參數值。這個訣竅就是，對于一對參數值，基于先驗信息，通過計算每個值在解釋數據時的可能性有多大，來計算哪個參數值更好。如果隨機生成的參數值比最后一個參數值更好，則以一定的概率值將其添加到參數值鏈中（這是馬爾科夫鏈部分）。

分布中某個值的高度代表了觀察該值的概率。因此，我們可以想象我們的參數值（x軸）在y軸上呈現出高低概率的區域。對于單個參數，MCMC方法是沿x軸開始隨機采樣：



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