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            傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略

            2015-07-28 21:44:21 來源:n

            、、Z變換的聯系?他們的本質和區別是什么?為什么要進行這些變換。研究的都是什么?從幾方面討論下。

              這三種變換都非常重要!任何理工學科都不可避免需要這些變換。

              ,,Z變換的意義

              【傅里葉變換】在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用(例如在信號處理中,傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量)。

              傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數(正弦和/或余弦函數)或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式,如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

              傅里葉變換是一種解決問題的方法,一種工具,一種看待問題的角度。理解的關鍵是:一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加,從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號,將信號這么分解后有助于處理。

              我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的,不知不覺中,其實是按照時間把信號進行分割,每一部分只是一個時間點對應一個信號值,一個信號是一組這樣 的分量的疊加。傅里葉變換后,其實還是個疊加問題,只不過是從頻率的角度去疊加,只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區間的信號,但他確有固定的周 期,或者說,給了一個周期,我們就能畫出一個整個區間上的分信號,那么給定一組周期值(或頻率值),我們就可以畫出其對應的曲線,就像給出時域上每一點的 信號值一樣,不過如果信號是周期的話 ,頻域的更簡單,只需要幾個甚至一個就可以了,時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。

              傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式;逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以,當然把證明看懂了更好。

              對一個信號做傅里葉變換,可以得到其頻域特性,包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小,那么相位呢,它有什么物理意義?頻域的相位與時域的相位有關系嗎?信號前一段的相位(頻域)與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關系。

              傅里葉變換就是把一個信號,分解成無數的正弦波(或者余弦波)信號。也就是說,用無數的正弦波采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性(見信號流程 圖、動態結構圖)、分析控制系統的運動過程(見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法),以及綜合控制系統的校正裝置(見控制系統校正方法)提供了可能性。

              工程數學中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變換,并在復數域中作各種運算,再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果,往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效,它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理,從而使計算簡化。在經典控制理論中,對控制系統的分析和綜合,都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。

              拉普拉斯變換在工程學上的應用:應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化為代數方程,使問題得以解決。在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在于:將一個信號從時域上,轉換為復頻域(s域)上來表示;在線性系統,控制自動化上都有廣泛的應用。

              【Z變換】在數字信號處理中,Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應用中,我們往往只需要分析信號或系統的頻率響應,也即是說通常只需要進行傅里葉變換即可。

              那么,為什么還要引進Z變換呢?

              【三者關系】

              Z變換和傅里葉變換之間有存在什么樣的關系呢?傅里葉變換的物理意義非常清晰:將通常在時域表示的信號,分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、 頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱為頻譜,頻譜包括幅度譜和相位譜,分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界,頻率是 有明確的物理意義的,比如說聲音信號,男同胞聲音低沉雄渾,這主要是因為男聲中低頻分量更多;女同胞多高亢清脆,這主要是因為女聲中高頻分量更多。對一個 信號來說,就包含的信息量來講,時域信號及其相應的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢?因為有的信號主要在時域表現其特性,如 電容充放電的過程;而有的信號則主要在頻域表現其特性,如機械的振動,人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話,則相應的時域信號看起來可能雜亂無 章,但在頻域則解讀非常方便。在實際中,當我們采集到一段信號之后,在沒有任何先驗信息的情況下,直覺是試圖在時域能發現一些特征,如果在時域無所發現的 話,很自然地將信號轉換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述,就像一枚硬幣的兩面,看起來雖然有所不同,但實際上都是同一個東西。正因為 如此,在通常的信號與系統的分析過程中,我們非常關心傅里葉變換。

              既然人們只關心信號的頻域表示,那么Z變換又是怎么回事呢?要說到Z變換,可能還要先追溯到拉普拉斯變換。

              拉普拉斯變換是以法國數學家拉普拉斯命名的一種 變換方法,主要是針對連續信號的分析。拉普拉斯和傅里葉都是同時代的人,他們所處的時代在法國是處于拿破侖時代,國力鼎盛。在科學上也取代英國成為當時世 界的中心,在當時眾多的科學大師中,拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關于信號可以分解為正弦信號疊加的論文,其評審人即 包括拉普拉斯和拉格朗日。

              回到正題,傅里葉變換雖然好用,而且物理意義明確,但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻,比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯 變換可以說是推廣了這以概念。在自然界,指數信號exp(-x)是衰減最快的信號之一,對信號乘上指數信號之后,很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信 號乘上指數信號之后一般都能滿足傅里葉變換的條件,這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程,在18世紀計算機還遠未發明的時候, 意義非常重大。從上面的分析可以看出,傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式,即所乘的指數信號為exp(0)。也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換 的推廣,是一種更普遍的表達形式。在進行信號與系統的分析過程中,可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結果,然后再得到傅里葉變換這種特殊的結果。這種由 普遍到特殊的解決辦法,已經證明在連續信號與系統的分析中能夠帶來很大的方便。

              Z變換可以說是針對離散信號和系統的拉普拉斯變換,由此我們就很容易理解Z變換的重要性,也很容易理解Z變換和傅里葉變換之間的關系。Z變換中的Z平面與 拉普拉斯中的S平面存在映射的關系,z=exp(Ts)。在Z變換中,單位圓上的結果即對應離散時間傅里葉變換的結果。

            、、Z變換之間最本質的區別

              傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦(余弦)信號組合而成,傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦(余弦)信號中振幅較大(能量較高)信號對應的頻率,從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。

              

              定義式:設有一時間函數f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞單邊函數 ,其中,S=σ+jω 是復參變量,稱為復頻率。左端的定積分稱為拉普拉斯積分,又稱為f(t)的;

              右端的F(S)是拉普拉斯積分的結果,此積分把時域中的單邊函數f(t)變換為以復頻率S為自變量的復頻域函數F(S),稱為f(t)的拉普拉斯象函數。

              以上的拉普拉斯變換是對單邊函數的拉普拉斯變換,稱為單邊拉普拉斯變換。

              如f(t)是定義在整個時間軸上的函數,可將其乘以單位階躍函數,即變為f(t)ε(t),則拉普拉斯變換為F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt

              其中積分下標取0-而不是0或0+ ,是為了將沖激函數δ(t)及其導函數納入拉普拉斯變換的范圍。

              z變換可將分散的信號(現在主要用于數字信號)從時域轉換到頻域。作用和拉普拉斯變換(將連續的信號從時域轉換到頻域)是一樣的。

              拉普拉斯變換是將時域信號變換到“復頻域”,與傅里葉變換的“頻域”有所區別。

              FT[f(t)]=從負無窮到正無窮對[f(t)exp(-jwt)]積分 ,LT[f(t)]=從零到正無窮對[f(t)exp(-st)]積分 ,(由于實際應用,通常只做單邊拉普拉斯變換 ,即積分從零開始) .具體地,在傅里葉積分變換中,所乘因子為exp(-jwt),此處,-jwt顯然是為一純虛數;而在拉普拉斯變換 中,所乘因子為exp(-st),其中s為一復數:s=D+jw,jw是為虛部,相當于Fourier變換中的jwt,而D則是實部,作為衰減因子,這樣就能將許多無法作Fourier變換的函數(比如exp(at),a>0)做域變換。 拉普拉斯變換 主要用于電路分析,作為解微分方程的強有力工具(將微積分運算轉化為乘除運算)。但隨著CAD的興起,這一作用已不怎么受重視了,但關于其收斂域的分析(零極點圖)依然常用。 Fourier變換則隨著FFT算法(快速)的發展已經成為最重要的數學工具應用于數字信號處理領域。

              而Z變換,簡單地說,就是離散信號(也可以叫做序列)的拉普拉斯變換 ,可由抽樣信號的拉普拉斯變換 導出(如果你想要更多,我可以導給你看),表示式如下:

              ZT[f(n)]=從n為負無窮到正無窮對[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所變換的域稱之為“Z域”。

              是拉普拉斯變換的一種特例,在拉普拉斯變換中,只要令Re[s]=1,就得到傅立葉變換。當然,兩者可以轉換的前提是信號的拉普拉斯變換的收斂域要包含單位圓(即包含圓周上的點)。

              很多信號都不一定有傅立葉變換,因為狄力克雷條件比較苛刻,而絕大多數信號都有拉普拉斯變換。故對于連續信號,拉普拉斯變換比傅立葉變換用得更廣泛。

              兩者的共同點:都把時域函數轉換為頻域函數(對于拉普拉斯變換來說,是轉到復頻域上)。另外,兩者都能很方便地解出低階微分方程。

              這三種變換的本質是將信號從時域轉換為頻域。傅里葉變換的出現顛覆了人類對世界的認知:世界不僅可以看作雖時間的變化,也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個不太恰當的例子:一首鋼琴曲的聲音波形是時域表達,而他的鋼琴譜則是頻域表達。

              三種變換由于可以將微分方程或者差分方程轉化為多項式方程,所以大大降低了微分(差分)方程的計算成本。

              另外,在通信領域,沒有信號的頻域分析,將很難在時域理解一個信號。因為通信領域中經常需要用頻率劃分信道,所以一個信號的頻域特性要比時域特性重要的多。

              具體三種變換的分析(應該是四種)是這樣的:

              傅里葉分析包含傅里葉級數與傅里葉變換。傅里葉級數用于對周期信號轉換,傅里葉變換用于對非周期信號轉換。

              但是對于不收斂信號,傅里葉變換無能為力,只能借助拉普拉斯變換。(主要用于計算微分方程)

              而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。(主要用于計算差分方程)

              從復平面來說,傅里葉分析直注意虛數部分,拉普拉斯變換則關注全部復平面,而z變換則是將拉普拉斯的復平面投影到z平面,將虛軸變為一個圓環。(不恰當的比方就是那種一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒,從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。)

             、、Z變換公式


              1.傅里葉級數

              

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              2.非周期傅里葉變換和逆變換

              

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              傅里葉變換的性質

              

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              3.非周期序列傅里葉變換

              1.定義

              一個離散時間非周期信號與其頻譜之間的關系,可用序列的傅里葉變換來表示。若設離散時間非周期信號為序列x(n),則序列x(n)的傅里葉變換(DTFT)為:

              

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              當然式(3-1-2)等式右端的積分區間可以是(0,2π)或其它任何一個周期。

              2.離散時間序列傅里葉變換存在的條件:

              離散時間序列x(n)的傅里葉變換存在且連續的條件為x(n)滿足絕對可和。即:

              

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              反之,序列的傅里葉變換存在且連續,則序列一定是絕對可和的。

              表3-1給出了常用序列的傅里葉變換,這在以后的實際應用中很重要。

              3.1.2 非周期序列傅里葉變換的性質

              從序列傅里葉變換定義式(3-1-1)可知,非周期序列的傅里葉變換就是序列的z變換在單位圓上的取值(當序列的z變換在單位圓上收斂時),即:

              

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              因此,非周期序列傅里葉變換的一切特性,皆可由z變換得到。正因如此,下面所述的性質,讀者可仿z變換性質的證明方法進行證明,在這里就不一一證明了。

              

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              表3-1序列的傅里葉變換的性質

              

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              表3-2 常用序列傅里葉變換

              

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              附錄A 及反變換

              1. 表A-1 拉氏變換的基本性質

              

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              2.表A-2 常用函數的拉氏變換和z變換表

              

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              5. Z變換

              1 Z變換的定義

              

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              常用z變換的基本性質和定理

              

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